Question

若函数f(x)=(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x=－2对称，则f(x)的最大值是______.

要过程，谢谢

Answer 1

解：∵x1=1和x2=-1是方程f(x)=0 的两个解【0=f(x)=(1+x)(1-x)(x²+ax+b)】
x=-2 是图像的对称轴
∴x3=-3和x4=-5也是方程f(x)=0 的两个解 【x3-(-2)=-2-x2；x4-(-2)=-2-x1】
∴a/1=-(x3+x4) => a=8
b/1=x3*x4 => b=15 【韦达定理】
∴ f(x)=-x^4-8x³-14x²+8x+15 => f'(x)=-4x³-24x²-28x+8
由f'(x)=0 => x1'=-2-√5 ；x2'=-2 ；x3'=-2+√5
由一次导函数的正负区间推出函数的单调区间，可知
fmax(x)=f(x1')=f(x3')=-60+99√5
∴f(x)的最大值是 -60+99√5 。

追问

遇到这种题，有什么方法吗？

追答

这种题的主要思路就是：1、由所给出的条件找出可以定出的点【如（1,0）和（-1,0）】
2、由对称性定出另外两点 【如（-5,0）和（-3,0）】
3、还原函数式 【即定出 a 、b 】
4、求导数 ，找出极值点 【即：（x1'，f(x1'))、（x2' ，f(x2'))、（x3' ，f(x3'))
5、由函数单调性的相关知识，可以分析得出三个极值的性质【极大值还是极小值】
6、将极值点的 x 坐标值代入函数式，即可求出三个极值。从中当然就可以找到最大值了。【若是闭区间函数，还得比较端点的大小；若是非对称函数还得比较 f(x1')和f(x3')的大小。】

做题目，当然是要随机应变了。课堂上的基础知识掌握牢固是很重要的。其实，要找一个“放之四海而皆准”的方法，恐怕是徒劳的。要知道，题 可以千变万化，就以这样一个典型的题而论吧，把结论作为条件，而把任意一个条件作为问题，就可以变化出许多题型来。

Answer 2

引用hjg3604的回答：
解：∵x1=1和x2=-1是方程f(x)=0 的两个解【0=f(x)=(1+x)(1-x)(x²+ax+b)】
x=-2 是图像的对称轴
∴x3=-3和x4=-5也是方程f(x)=0 的两个解 【x3-(-2)=-2-x2；x4-(-2)=-2-x1】
∴a/1=-(x3+x4) => a=8
b/1=x3*x4 => b=15 【韦达定理】
∴ f(x)=-x^4-8x³-14x²+8x+15 => f'(x)=-4x³-24x²-28x+8
由f'(x)=0 => x1'=-2-√5 ；x2'=-2 ；x3'=-2+√5
由一次导函数的正负区间推出函数的单调区间，可知
fmax(x)=f(x1')=f(x3')=-60+99√5
∴f(x)的最大值是 -60+99√5 。

正确答案为16