Question

如图1和2，在△ABC中，AB=13，BC=14，cos∠ABC= ．探究：如图1，AH⊥BC于点H，则AH= ...

如图1和2，在△ABC中，AB=13，BC=14，cos∠ABC= ．探究：如图1，AH⊥BC于点H，则AH= ，AC= ，△ABC的面积S △ ABC = ；拓展：如图2，点D在AC上（可与点A，C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E，F，设BD=x，AE=m，CF=n（当点D与点A重合时，我们认为S △ ABD =0）（1）用含x，m，n的代数式表示S △ ABD 及S △ CBD ；（2）求（m+n）与x的函数关系式，并求（m+n）的最大值和最小值；（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．发现：请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．

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Answer 1

探究：12；15；84 拓展：（1）      （2）当 时， 的最大值为15，当 时， 的最小值为12 （3） 或 发现：直线AC，A、B、C三点到这条直线的距离之和最小，最小值为

探究：在Rt△ABH中，AB=13， ，∴BH=AB 。 ∴根据勾股定理，得 。 ∵BC=14，∴HC=BC－BH=9。∴根据勾股定理，得 。 ∴ 。 拓展：（1）直接由三角形面积公式可得。 （2）由（1）和 即可得到 关于x的反比例函数关系式。根据垂直线段最短的性质，当BD⊥AC时，x最小，由面积公式可求得；因为AB=13，BC=14，所以当BD=BC=14时，x最大。从而根据反比例函数的性质求出m+n）的最大值和最小值。 （3）当 时，此时BD⊥AC，在线段AC上存在唯一的点D；当 时，此时在线段AC上存在两点D；当 时，此时在线段AC上存在唯一的点D。因此x的取值范围为 或 。 发现：由拓展（2）知，直线AC，A、B、C三点到这条直线的距离之和（即△ABC中AC边上的高）最小，最小值为 （它小于BC边上的高12和AB边上的高 ）。 解：探究：12；15；84。 拓展：（1）由三角形面积公式，得 ， 。 （2）由（1）得 ， ， ∴ ∵△ABC中AC边上的高为 ， ∴x的取值范围为 。 ∵ 随x的增大而减小， ∴当 时， 的最大值为15，当 时， 的最小值为12。 （3）x的取值范围为 或 。 发现：直线AC，A、B、C三点到这条直线的距离之和最小，最小值为 。