Question

（理）如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA=AD=2，点E、F、G分别为线段PA、PD和CD的中点．（1）

（理）如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA=AD=2，点E、F、G分别为线段PA、PD和CD的中点．（1）求异面直线EG与BD所成角的大小；（2）在线段CD上是否存在一点Q，使得点A到平面EFQ的距离恰为 4 5 ？若存在，求出线段CQ的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）以点A为坐标原点，射线AB，AD，AZ分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系如图示，点E（0，0，1）、G（1，2，0）、B（2，0，0）、D（0，2，0）， 则 EG =(1，2，-1) ， BD =(-2，2，0) ． 设异面直线EG与BD所成角为θ cosθ= | EG ? BD | |EG| ? |BD| = |-2+4| 6 ? 8 = 3 6 ， 所以异面直 线EG与BD所成角大小为 arccos 3 6 ． （2）假设在线段CD上存在一点Q满足条件， 设点Q（x 0 ，2，0），平面EFQ的法向量为 n =(x，y，z) ， 则有 n ? EF =0 n ? EQ =0 得到y=0，z=xx 0 ，取x=1， 所以 n =(1，0， x 0 ) ， 则 | EA ? n | |n| =0.8 ， 又x 0 ＞0，解得 x 0 = 4 3 ， 所以点 Q( 4 3 ，2，0) 即 CQ =(- 2 3 ，0，0) ， 则 |CQ| = 2 3 ． 所以在线段CD上存在一点Q满足条件，且线段CQ的长度为 2 3 ．