Question

（2003?北京）如图，ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，侧棱长为 1，底面边长为 2，E是棱BC的中点．（1）求三棱锥

（2003?北京）如图，ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，侧棱长为 1，底面边长为 2，E是棱BC的中点．（1）求三棱锥D1-DBC的体积；（2）证明 BD1∥平面C1DE；（3）求面C1DE与面CDE所成二面角的正切值．

Answer 1

（1）∵BC=CD=2∴=

1

2

×2×2=2
又∵DD₁=1
∴三棱锥D₁-DBC的体积=

1

3

S△_BCDDD₁=

1

3

×2×1=

2

3

（2分）
（2）设C₁D∩CD₁=F
连接EF∵E为BC的中点F为CD₁的中点
∴EF是△BCD₁的中位线∴EF∥BD₁（3分）
又BD₁在平面C₁DE外，EF在平面C₁DE内
∴BD₁∥平面C₁DE（4分）
（3）过C作CG⊥DE交DE于G，连接
则DE⊥C₁G∴∠C₁GC是二面角C₁-DE-C的一个平面角（5分）
在R_t△CDE中，CD=2，CE=1，DE=

5

∴CG=

2

5

又∵CC₁=1△CC₁G是直角三角形（6分）
∴tan∠C₁GC=

|C1C|

|CG|

=

1

2 5

=

5

2

（7分）