Question

设Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的公比q；（Ⅱ）求证：a3，a9，a6

设Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的公比q；（Ⅱ）求证：a3，a9，a6成等差数列；（Ⅲ）当am，as，at（m，s，t∈[1，10]，m，s，t互不相等）成等差数列时，求m+s+t的值．

Answer 1

（Ⅰ）当q=1时，S₃=3a₁，S₉=9a₁，S₆=6a₁，
∵2S₉≠S₃+S₆，∴S₃，S₉，S₆不成等差数列，与已知矛盾，
∴q≠1．（2分）
由2S₉=S₃+S₆得：2?

a1(1?q9)

1?q

＝

a1(1?q3)

1?q

+

a1(1?q6)

1?q

，（4分）
即2（1-q⁹）=（1-q³）+（1-q⁶）?2q⁶-q³-1=0，
∴q3＝?

1

2

?q＝?

3	1 2

，q³=1?q=1（舍去），∴q＝?

3 4

2

（6分）
（Ⅱ）∵2a₉-a₃-a₆=2a₁q⁸-a₁q²-a₁q⁵=a₁q²（2q⁶-1-q³）=0，
∴2a₉=a₃+a₆，∴a₃，a₉，a₆成等差数列．（9分）
（Ⅲ）S₃，S₉，S₆成等差数列?2q⁶-q³-1=0?2q⁶=q³+1?2a₁q⁶=a₁q³+a₁?2a₇=a₄+a₁，
∴a₁，a₇，a₄成等差数列或a₄，a₇，a₁成等差数列，则m+s+t=12，（11分）
同理：a₂，a₈，a₅成等差数列或a₅，a₈，a₂成等差数列，则m+s+t=15，
a₃，a₉，a₆成等差数列或a₆，a₉，a₃成等差数列，则m+s+t=18，
a₄，a₁₀，a₇成等差数列或a₇，a₁₀，a₄成等差数列，则m+s+t=21，
∴m+s+t的值为12，15，18，21．（15分）