Question

如图，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．已知AB=15cm

如图，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．已知AB=15cm，BC=9cm，P是射线DE上的动点．设DP=xcm（x＞0），四边形BCDP的面积为ycm2．（1）求y关于x的函数关系式；（2）当x为何值时，△PBC的周长最小，并求出此时y的值．

Answer 1

解答：解：（1）∵DE⊥AC，
∴∠DFC=∠FCB=90°．
∴BC∥DF，
∴四边形BCDP是梯形．
在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，
∴AC＝

AB2?BC2

＝

152?92

＝12．
在△ACD中，∵DA=DC，DF⊥AC，
∴CF=AF=6，
∴y＝

1

2

(x+9)×6＝3x+27（x＞0）．

（2）∵BC=9（定值）．理由如下：
∴要使△PBC的周长最小，只需PB+PC最小．
∵点P是线段AC垂直平分线上的点，
∴PA=PC，
∴PB+PC=PB+PA，故只要求PB+PA最小．
如图，显然当P与E重合时PB+PA最小，
此时x=DP=DE，PB+PA=AB，
在△DAE和△ABC中，
∵BC∥DF，
∴∠AEF=∠B，
∵∠DFA=∠ACB=90°，
∴△DAE∽△ACB，
∴

AD

DE

＝

AC

AB

，
即

AD

x

＝

12

15

，
在△AFE和△ACB中
∵∠FAE=∠CAB，∠AFE=∠ACB=90°，
∴△AFE∽△ACB，
∴

EF

AE

＝

BC

AB

，
即

6

AE

＝

12

15

，
∴AE=

15

2

．
在Rt△ADE和△CAB中
∵∠AEF=∠B，
∴tan∠AEF=tan∠B，
∴

AD

AE

＝

AC

BC

即

AD

15 2

＝

12

9

，
∴AD=10，
∴x＝

25

2

．
∴当x＝

25

2

时，△PBC的周长最小，此时y＝

129

2

．