Question

（本小题满分14分）已知椭圆 的两焦点为 ， ，并且经过点 .（1）求椭圆 的方程；（2）已知圆 : ，

（本小题满分14分）已知椭圆 的两焦点为 ， ，并且经过点 .（1）求椭圆 的方程；（2）已知圆 : ，直线 : ，证明当点 在椭圆 上运动时，直线 与圆 恒相交；并求直线 被圆 所截得的弦长的取值范围．

Answer 1

（本小题满分14分） 已知椭圆 的两焦点为 ， ，并且经过点 . （1）求椭圆 的方程； （2）已知圆 : ，直线 : ，证明当点 在椭圆 上运动时，直线 与圆 恒相交；并求直线 被圆 所截得的弦长的取值范围．

解：(1)解法一：设椭圆 的标准方程为 ， 由椭圆的定义知: 得    故 的方程为 .                                    ...............4分           解法二：设椭圆 的标准方程为 ， 依题意， ①， 将点 坐标代入得 ② 由①②解得 ，故 的方程为 .          ...............4分 （2）因为点 在椭圆 上运动，所以 ，则 ， 从而圆心 到直线 的距离 ， 所以直线 与圆 相交.                                      ............... 8 分 直线 被圆 所截的弦长为 ...............10 分 .                                          ...............14 分

略