Question

（2013?青岛一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，N是PB中点，过A、N、D三点的平面交PC

（2013?青岛一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，N是PB中点，过A、N、D三点的平面交PC于M．（Ⅰ）求证：PD∥平面ANC；（Ⅱ）求证：M是PC中点；（Ⅲ）若PD⊥底面ABCD，PA=AB，BC⊥BD，证明：平面PBC⊥平面ADMN．

Answer 1

证明：（Ⅰ）连结BD，AC，设AC∩BD=O，连结NO，
∵ABCD是平行四边形∴O是BD的中点，在△PBD中，N是PB的中点，∴PD∥NO，
又NO?平面ANC，PD?平面ANC，
∴PD∥平面ANC．
（Ⅱ）∵底面ABCD为平行四边形，∴AD∥BC
∵BC?平面ADMN，AD?平面ADMN，
∴BC∥平面ADMN．
∵平面PBC∩平面ADMN=MN，
∴BC∥MN，又N是PB的中点
∴M是PC的中点．
（Ⅲ）∵PA=AB，N是PB的中点，∴PB⊥AN，
∵BC⊥BD，AD∥BC，∴AD⊥BD，
∴PD⊥平面ABCD，AD?底面ABCD，
PD⊥AD，又PD∩BD=D，
∴AD⊥平面PBD，∴PB⊥AD
∵AD∩AN=A
∴PB⊥平面ADMN，PB?平面PBC
∴平面PBC⊥平面ADMN