Question

如图所示，B是质量为m B 、半径为R的光滑半球形碗，放在光滑的水平桌面上．A是质为m A 的细长直杆，被固

如图所示，B是质量为m B 、半径为R的光滑半球形碗，放在光滑的水平桌面上．A是质为m A 的细长直杆，被固定的光滑套管C约束在竖直方向，A可自由上下运动．碗和杆的质量关系为：m B =2m A ．初始时，A杆被握住，使其下端正好与碗的半球面的上边缘接触（如图）．然后从静止开始释放A，A、B便开始运动．设A杆的位置用θ 表示，θ 为碗面的球心O至A杆下端与球面接触点的连线方向和竖直方向之间的夹角．求A与B速度的大小（表示成θ 的函数）．

Answer 1

由题设条件知，若从地面参考系观测，则任何时刻，A沿竖直方向运动，设其速度为v A ，B沿水平方向运动，设其速度为v B ，若以B为参考系，从B观测，则A杆保持在竖直方向，它与碗的接触点在碗面内作半径为R的圆周运动，速度的方向与圆周相切，设其速度为V A ．杆相对地面的速度是杆相对碗的速度与碗相对地面的速度的合速度，速度合成的矢量图如图中的平行四边形所示．由图得V A sinθ=v A          （1） V A cosθ=v B          （2） 因而，v B =v A cotθ         （3） 选AB组成的系统为研究对象，由能量守恒： m A gRcosθ= 1 2 m A v 2A + 1 2 m B v 2B （4） 由（3）、（4）两式及m B =2m A 得 v A =sinθ 2gRcosθ 1 +(cosθ) 2    （5）  v B =cosθ 2gRcosθ 1 +(cosθ) 2   （6） 答：两物体速度为：v A =sinθ 2gRcosθ 1 +(cosθ) 2 v B =cosθ 2gRcosθ 1 +(cosθ) 2