Question

已知x1、x2是方程x2-（k-3）x+k+4=0的两个实根，A、B为x轴上的两点，其横坐标分别为x1、x2（x1＜x2）．O

已知x1、x2是方程x2-（k-3）x+k+4=0的两个实根，A、B为x轴上的两点，其横坐标分别为x1、x2（x1＜x2）．O为坐标原点，P点在y轴上（P点异于原点）．设∠PAB=α，∠PBA=β．（1）若α、β都是锐角，求k的取值范围．（2）当α、β都是锐角，α和β能否相等？若能相等，请说明理由；若不能相等，请证明，并比较α、β的大小．

Answer 1

（1）∵x₁、x₂是方程x²-（k-3）x+k+4=0的两个实根，A、B为x轴上的两点，其横坐标分别为x₁、x₂（x₁＜x₂）．
∴△=k²-10k-7＞0得k＜5-4

2

或k＞5+4

2

，
若α、β都是锐角，
∴点A、B在原点两旁，
∴x₁?x₂＜0，
∴k＜-4；

（2）设α=β，
则x₁+x₂=0，
∴k=3，
所以α≠β；
因为x₁+x₂=k-3＜-7＜0，
所以|x₁|＞|x₂|，
所以OA＞OB，
则PA＞PB，在△PAB中，有α＜β．