Question

（2012?黄冈模拟）如图，已知等边△ABC，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于点D、E，过点D作DF⊥AC于

（2012?黄冈模拟）如图，已知等边△ABC，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于点D、E，过点D作DF⊥AC于点F，（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）过点F作FH⊥BC于点H，若等边△ABC的边长为8，求AF，FH的长．

Answer 1

（1）DF与⊙O相切．理由如下：
连接OD．  
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵OD=OB，
∴△ODB是等边三角形，
∴∠DOB=60°，
∴∠DOB=∠C=60°，
∴OD∥AC．
∵DF⊥AC，
∴DO⊥DF，
∴DF与⊙O相切；

（2）连接CD．
∵CB是⊙O直径，
∴DC⊥AB．
又∵AC=CB=AB，
∴D是AB中点，
∴AD=

1

2

AB＝

1

2

×8＝4．
在直角三角形ADF中，
∠A=60°，∠ADF=30°，∠AFD=90°，
∴AF＝

1

2

AD＝

1

2

×4＝2，
∴FC=AC-AF=8-2=6．
∵FH⊥BC，
∴∠FHC=90°．
∵∠C=60°，
∴∠HFC=30°，
∴HC＝

1

2

FC＝

1

2

×6＝3，
∴FH=

FC2?HC2

=3

3

．