Question

（2013?德州一模）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且AC=CF

（2013?德州一模）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且AC=CF，∠CBF=∠CFB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若点D，点E分别是弧AB的三等分点，当AD=5时，求BF的长．

Answer 1

（1）证明：∵∠CBF=∠CFB，
∴CB=CF．
又∵AC=CF，
∴CB=

1

2

AF，
∴△ABF是直角三角形．
∴∠ABF=90°，
∴直线BF是⊙O的切线；

（2）解：连接DO，EO．
∵点D，点E分别是弧AB的三等分点，
∴∠AOD=60°．
又∵OA=OD，
∴△AOD是等边三角形，∠OAD=60°，OA=AD=5．  
又∵∠ABF=90°，AB=2OA=10，
∴BF=10

3

．