Question

如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，连接BE，过E作EF⊥BE，EF交CD于F．（1）求证：EB=EF；（2）若AE=2

如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，连接BE，过E作EF⊥BE，EF交CD于F．（1）求证：EB=EF；（2）若AE=2，CF=4，求正方形ABCD的面积．

Answer 1

解答：（1）证明：作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC平分∠BCD，
∴EM=EN，∠NEM=90°，
∵∠BEF=90°，
∴∠BEM=∠NEF，
∵∠BME=∠FNE=90°，
∴△BEM≌△FEN，
∴BE=EF；

（2）解：设BM=x，则NF=x，
由（1）可知四边形EMCN为正方形，
∴EM=CM=CN=4+x，
∴CE=

2

（4+x），
∵EM∥AB，
∴

CE

AE

＝

CM

BM

，
∴

2 (4+x)

2

＝

4+x

x

，
解得：x=1或-4（舍），
∴BC=BM+CM=6，
∴正方形ABCD的面积为：6×6=36．