Question

高数中函数极限与无穷小的关系。当f(x)为简单函数时我这么理解对吗？还有当X倾向于X0时，但X0处

高数中函数极限与无穷小的关系。当f(x)为简单函数时我这么理解对吗？还有当X倾向于X0时，但X0处无意义，那么该如何理解f(x)=A+@

Answer 1

这个定理用得比较广泛，但是也确实是有很多人不怎么理解。总是在想要怎么才能找到这无穷小α呢？
其实我们换一种说法，估计大家理解起来就必然容易了：
如果f（x）在x→x0时，有极限A，则α=f（x）-A必然是当x→x0时的无穷小。
如果当x→x0时，α=f（x）-A是当x→x0时的无穷小，则当x→x0时，f（x）的极限为A。
这样说，大家都知道这个无穷小其实是怎么找出来的吧。
所以如果f（x）在x0这点无定义，但是在x0这点有极限，那么所找到的这个无穷小α=f（x）-A，在x0这点也无定义。

追问

f(x)在X0无意义但有极限，那么f(x)=A+@成立吗？

追答

当然可以成立啊，难道α就不能是个在x0点无定义的无穷小吗？所谓无穷小，只是这个函数在x→x0时，极限为0而已，并不一定要求α必须在x0这点有定义啊。
所以如果α是个在x0点处无定义的无穷小，那么A+α同样在x0点处无定义，和f（x）的定义情况一模一样啊。为什么不相等？相等就是相同的自变量，函数值相等，定义域也相同。
所以α是个在x0点处无定义的无穷小，那么A+α和f（x）的定义域相同，为什么不能相等？