Question

为什么矩阵一个特征值所对应的无关的特征向量个数小于等于特征值的重数

为什么矩阵一个特征值所对应的无关的特征向量个数小于等于特征值的重数当特征值的重数为1时，无关特征向量的个数为什么不能为0或2个

Answer 1

如果x1,...,xk是n阶矩阵A关于特征值λ的线性无关的特征向量
令X=[x1,...,xk], X是一个列满秩的nxk的矩阵
存在n阶可逆矩阵Y使得Y的前k列是X，即Y=[X,*]
令B=Y^{-1}AY，则AY=YB，利用分块乘法可以得到
B=
λI_k *
0 *
所以B至少有k个特征值是λ
这就说明代数重数一定不会小于几何重数

另一方面，如果λ是A的特征多项式的根，即det(λI-A)=0
那么λI-A是奇异矩阵，线性方程组(λI-A)x=0有非零解，任何一个非零解都是λ对应的特征向量
所以（对于n阶矩阵而言）特征值的几何重数至少是1，不可能是0

Answer 2

你好！这就是特征值与特征向量的定义。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！

Answer 3

什么乱七八糟的