Question

为什么实对称矩阵特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等

Answer 1

因为n阶对称矩阵必可对角化，对角化的条件就是有n个线性无关的特征向量，因此实对称矩阵特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等。

一个线性变换通常可以由其特征值和特征向量完全描述。特征空间是相同特征值的特征向量的集合。

特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间，还包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量。线性变换的主特征向量是最大特征值对应的特征向量。

扩展资料：

λ是该函数所对应的特征值。这样一个时间的函数，如果λ = 0，它就不变，如果λ为正，它就按比例增长，如果λ是负的，它就按比例衰减。例如，理想化的兔子的总数在兔子更多的地方繁殖更快，从而满足一个正λ的特征值方程。

该特征值方程的一个解是N = exp(λt)，也即指数函数；这样，该函数是微分算子d/dt的特征值为λ的特征函数。若λ是负数，我们称N的演变为指数衰减；若它是正数，则称指数增长。λ的值可以是一个任意复数。

Answer 2

因为n阶对称矩阵必可对角化，对角化的条件就是有n个线性无关的特征向量，因此实对称矩阵特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等

追问

对称矩阵必可对角化不是从这个定理里推出来的吗？这样不是循环论证了，有没有别的解释？或者你能不能先证明一下n阶对称矩阵必可对角化？

追答

n阶实对称才必可对角化，用反证法