Question

求极限 根号下1+xsinx -1/1-cosx 其中x趋向于0

高数，求教！！！！！

Answer 1

1
解析：
//等价无穷小//
//x→0时，√(1+x)～1+x/2
//x→0时，1-cosx=(1/2)x²
～～～～～～～～～～～～
x→0时，
lim[√(1+xsinx)-1]/(1-cosx)
=lim[(1/2)(xsinx)]/[(1/2)x²]
=lim(xsinx)/x²
=1

追答

sorry，编辑失误
x→0时，1-cosx～(1/2)x²

Answer 2

对“根号下”的分式使用洛必达法则
分子是：sinx+xcosx
分母是：sinx
再次使用洛必达法则
分子是：2cosx-xsinx
分母是：cosx
谁答案是：根号下2
你不加括号就只好这样解读了

Answer 3

lim [√(1+xsinx)-1]/(1-cosx)

x→0
=lim [√(1+xsinx)-1][√(1+xsinx)+1] / (1-cosx)[√(1+xsinx)+1]
x→0
=lim [(1+xsinx)-1] / (1-cosx)[√(1+xsinx)+1]
x→0
=lim xsinx / (1-cosx)[√(1+xsinx)+1]
x→0
=lim x² / {½x²·[√(1+xsinx)+1]}
x→0
=lim 2/[√(1+xsinx)+1]

x→0
=2/[√(1+0·sin0)+1]
=2/(1+1)
=1

追问

第三步到第四步是为什么？
xsinx / (1-cosx)[√(1+xsinx)+1]为什么变成
{½x²·[√(1+xsinx)+1]}？