Question

二重积分变量变换中，雅克比行列式为什么取绝对值

Answer 1

在一重积分的时候，交换积分上下限积分的值是变号的，这样就不用老关注积分上下限合不合适等问题，扩展到对坐标的曲线积分什么的也比较方便。
但二重积分的时候是对面积的积分，是对面积的积分，面积是一个恒为正数的数，所以换成先后对y、x（或者x、y）的两次积分的时候积分上下限都是小的那个做下限，大的那个做上限。这时候用积分上下限来表示积分值的正负号也不方便了（比如正着积y，负着积x，这能代表什么呢？好像什么也代表不了。）所以在对坐标的面积积分的时候就用面的法线和坐标轴的夹角正负来表示积分值的正负了。
扯了这么多，在二重积分的变换中，因为面积恒为正数，所以积分的面积元素dσ在变换时也要保证恒为正数。如果令雅可比式取绝对值，就不用担心比如当x换成ξ=-x的时候积分上下限该如何取值，直接从新元的下限积到上限就行。
当然，你可以重新定义二重积分和它的换元，把上下限考虑进去的那种，那时候雅可比式可能就不是去掉正负号就行（宝宝没仔细看），而且新元的上下限积分要考虑旧元的上下限也比较麻烦（x型域可不一定转换成ξ型域，要是不行你还得切分）
具体的推导在高数书上二重积分换元法那一节上有..别的书可能也有。

Answer 2

那行列式叫雅可比行列式，关于其正负有个结论：在定义域内如果不为零，那就恒为正或恒为负，所以不必担心去绝对值号后会变成分段函数；并且一般情况下其正负很容易看出来。

追问

我想问:为什么会加绝对值？