Question

求大神解决一下几道高数题

Answer 1

1、原式=∫∫(D)x^2*y*f(x^2+y^2)dxdy+∫∫(D)dxdy
因为(-x)^2*(-y)*f[(-x)^2+(-y)^2)]=-x^2*y*f(x^2+y^2)，且D关于原点中心对称
所以∫∫(D)x^2*y*f(x^2+y^2)dxdy=0
原式=∫∫(D)dxdy
=π
2、因为在积分路径L上，恒有5x^2+6y^2=30
所以原式=∫(L) 30ds
=30a
3、z=1+(x^2+y^2)/2的面积等于z=(x^2+y^2)/2的面积
曲线{z=(x^2)/2,y=0,0<=x<=√2}绕z轴旋转一周，得到旋转抛物面z=(x^2+y^2)/2
所求面积=∫(0,√2) 2π*(x^2)/2*√(1+x^2)dx
=π*∫(0,√2) x^2*√(1+x^2)dx
=(π/8)*[√(1+x^2)*(2x^3+x)-ln|x+√(1+x^2)|]|(0,√2)

=(π/8)*[√3*5√2-ln(√2+√3)]
=(π/8)*[5√6+ln(√3-√2)]
4、令p=dy/dx
(1+x^2)dp/dx-2xp=0
dp/p=2x/(1+x^2)dx
ln|p|=ln|1+x^2|+A
p=A(1+x^2)
y=Ax+(A/3)*x^3+B，其中A和B是任意常数