Question

设λ1，2是矩阵A的两个不同的特征值特征向量分别为a1,2。则a1，A(a1+a2)无关的充要条件

设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值对应特征向量分别为a1,a2。则a1，A(a1+a2)线性无关的充要条件是什么。答案是λ2≠0。请给出详细点的解答感谢

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

设 k1a1+k2A(a1+a2)=0
则 k1a1+k2λ1a1+k2λ2a2=0
即 (k1+k2λ1)a1+k2λ2a2=0
由于属于不同特征值的特征向量线性无关
所以 k1+k2λ1=0
k2λ2=0
此齐次线性方程组只有零解的充分必要条件是λ2≠0
即有 a1,A(a1+a2)线性无关的充分必要条件是λ2≠0

追问

齐次方程组转换成求只有零解的这一步是为什么？