Question

已知关于x的方程（k-1）x²＋2kx+k+3=0

Answer 1

答：
1）关于x的方程(k-1)x²-2kx+k+2=0有实数根
k-1=0即k=1时：0-2x+1+2=0，x=3/2，满足题意
k≠1时：判别式=(-2k)²-4(k-1)(k+2)>=0
k²>=k²+k-2
k-2<=0
k<=2
综上所述，k<=2
2）
若x1，x2是方程(k-1)x²-2kx+k+2=0的两个实数根（x1≠x2）
且满足(k-1)x1²+2kx2+k+2=4x1x2
因为：(k-1)x1²-2kx1+k+2=0
所以：上两式相减有2k(x1+x2)=4x1*x2
k(x1+x2)=2x1*x2
根据韦达定理有：x1+x2=2k/(k-1)，x1*x2=(k+2)/(k-1)
所以：
2k²/(k-1)=2(k+2)/(k-1)
k²=k+2
k²-k-2=0
(k-2)(k+1)=0
k=-1或者k=2
因为：x1≠x2
所以：k≠2
综上所述，k=-1

Answer 2

有两个相等的实根
所以b^2-4ac=0由方程中a=k-1
b=2k
c=k+3带入得到4k^2-4(k-1)(k+3)=0整理得到4k^2-4(k^2+2k-3)=12-8k=0得出k=1.5，所以关于y的方程为y^2+(a-6)y+a+1=0，由题知道此方程有解，所以根据根的判别式可得（a-6）^2-4*1*(a+1)大于等于0，整理得到a^2-16a+32>=0，解得
a>=8+4*根号2或a<=8-4*根号2，还要注意条件中a为正整数，再由方程推出
a=(6y-y^2-1)/(y+1)=-y+7-[8/(y+1)]，因为a为正整数，所以8/(y+1)是整数，y=-9,-5,-3,-2,0,1,3,7，对应a=17,14,2（注意a为正所以舍去负根）
所以a=2，根为1、3；
a=14，根为-3、-5；
a=17根为-2、-9；

Answer 3

易得
k=2/3,方程变为y²+（a-6）y+a+1=0，根的判别式为a^2-16a+32>=0,解得a>=8+4倍根号2或a<=8-4倍根号2
a=(6y-y^2-1)/(y+1)=-y+7-[8/(y+1)]，因为a为正整数，所以8/(y+1)是整数，y=-9,-5,-3,-2,0,1,3,7，对应a=17,14,2（注意a为正）
所以a取2此时根为1、3；a去14，根为-3、-5；a=17根为-2、-9；