Question

等边三角形ABC，AB=a,O为三角形的中心，过O点的直线交AB于M,交AC于N,求1。

Answer 1

设角AMO=x，则角ANO=（120-x），正弦定理AO/sinAMO=OM/sinMAO,AO/sinANO=ON/sinNAO
角MAO=角NAO=30，1/(OM)^2+1/(ON)^=（sinx的平方+sin（120-x）的平方）*1/2AO
AO=根号3/3a是定值，求导得x=60,为极值，x范围（30,90），算出最大值根号3/4a
最小值
5乘根号3/16a

Answer 2

先作OD⊥AB;OE⊥AC;则OD=OE=h=(a根号3)/6;
设MN与AB夹角α，那么，MN与AC夹角120°-α；
MO=h/sinα；ON=h/sin(120°-α）；
则原式=1/MO^2+1/NO^2=12(sinα^2+sin(120°-α）^2)/a^2;
书写方便，设f(α）=sinα^2+sin(120°-α）^2=3/4+sinα^2/2+根号3sin2α/4
=1+sin(2α-30°）/2;
所以，fmax=3/2;
所以，原式最大值=18/a^2;MN∥BC时取最大值