Question

已知BD,CE分别是△ABC的AC,AB边上的高,点P在BD的延长线上,BP=AC,点Q在CE上,CQ=AB.求证:(1)AP=AQ(2)AP⊥AQ

Answer 1

（1）bd，ce分别是三角形abc的边ac和ab上的高
所以角abd+角bac=90度，角ace+角bac=90度
于是角abd=角ace
又bp=ca，ba=cq
所以三角形abp全等于三角形qca
所以ap=aq
（2）由（1）得，角bap=角cqa
而角cqa+qab=90度
所以角bap+角qab=90度
即角qap=90度，有ap垂直aq

Answer 2

证明：
∵CE⊥AB，BD⊥AC【此步骤只为证明∠ABD=∠ACE，设CE交BD于O】
∴∠ABD=90º-∠EOB，∠ACE=90º-∠DOC。
∵∠EOB=∠DOC
∴∠ABD=∠ACE【用
四点共圆
会更简单】
又∵在⊿AQC和⊿PAB中，QC=AB，AC=PB
∴⊿AQC≌⊿PAB（SAS）【此题最关键的地方，请仔细观察思考】
∴AQ=AP【1证毕】，∠Q=∠PAB
∵∠Q+∠QAB=90º
∴∠PAB+∠QAB=90º即∠QAP=90º
∴AP⊥AQ【2证毕】