Question

一道高等数学积分题

被积函数是sinx的n次方，积分上下限是0到2分之π
这个积分怎么算啊？

Answer 1

这个有专门公式

In=∫sin^nxdx |(pi/2,0)

=(n-1)(n-3)...*3*1*pi/(2*4*6*...*n) n为正偶数

=(n-1)(n-3)...*4*2/(1*3*...*n) n为大于1正奇数

证明

∫sin^nxdx=-∫sin^n-1xdcosx=-[sin^n-1xcosx-(n-1)∫sin^(n-2)xcos^2xdx]

又cos^2x=1-sin^2x

代入 整理得 In=(n-1)/n *I n-2

而I1=1 I2=pi/2 于是得In公式如上

Answer 2

这个积分在定积分里面是一个公式，可以用分部积分法推导出来.

∫(0→π/2) (sinx)^n dx＝

(n-1)/n×(n-3)/(n-2)×......×3/4×1/2×π/2，当n为正偶数

(n-1)/n×(n-3)/(n-2)×......×4/5×2/3×1， 当n为大于1的正奇数

Answer 3

要是用一般方法就是递推公式这个可能会麻烦点…要是你有学过留数理论就用留数计算会简单点

Answer 4

no