Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且满足cos2A-cos2B=2...

在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且满足cos2A-cos2B=2cos(π6-A)cos(π6+A) （1）求角B的值； （2）若b=3且b≤a，求a-12c的取值范围．

Answer 1

解：（1）在△ABC中，
∵cos2A-cos2B=2cos(π6-A)cos(π6+A)=2（32cosA+12sinA）（32cosA-12sinA）
=2（34cos2A-14sin2A）=32cos2A-12sin2A=32-2sin2A．
又因为
cos2A-cos2B=1-2sin2A-（2cos2B-1）=2-2sin2A-2cos2B，
∴2-2sin2A-2cos2B=32-2sin2A，∴cos2B=14，∴cosB=±12，
∴B=π3或2π3．
（2）∵b=3≤a，∴B=π3，
由正弦asinA=csinC=bsinB=332=2，得a=2sinA，c=2sinC，
故a-12c=2sinA-sinC=2sinA-sin（23π-A）=32sinA-32cosA=3sin（A-π6），
因为b≤a，所以π3≤A＜23π，π6≤A-π6＜π2，
所以a-12c=3sin（A-π6）∈[32，3）．