Question

三维空间中两直线垂直的公式

Answer 1

利用两个直线的的方向向量的数量积为0 即：若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2) AB 一个方向向量为（x2-x1,y2-y1,z2-z1) 若C(x3,y3,z3),D(x4,y4,z4) CD 一个方向向量为（x4-x3,y4-y3,z4-z3) 只需证明AB*CD=（x2-x1）(x4-x3)+(y2-y1)(y4-y3)+(z2-z1)(z4-z3)=0如果两直线互相垂直，那么它们的斜率的乘积为—1.

设l：y=kx+b，k为“斜率”，“斜率”的几何意义是直线与x轴正半轴的夹角（即“倾斜角”）的正切值。如y=x+b，倾斜角45°，k=tan45°=1。

b是纵截距，即直线与y轴交点的纵坐标。可见，这与两直线垂直没什么关系。

看楼主是初三的吧？顺便说一下，tan(90°+a）=-tana。所以可能上面的结论就比较容易理解了。在说描述三维空间中的一条直线的方法之前，我们得先复习一下如何确定一条在二维平面上的直线。

我们学着笛卡尔把直线放在空间直角坐标系里，让直线上每一个点都对应一个x值和y值，进而可以将几何上的线与代数上的数联系起来。即利用直线的方程。

二维平面的直线有如下几种：

点斜式

斜截式

两点式

截距式

以上的几种描述方法都有共同的特点：利用能够唯一确定一条直线的方法来描述直线。比如利用一个点和直线的斜率，或者利用两个点（ps:斜截式和截距式可以看成点斜式和两点式的特殊情况）。

三维空间里，“斜率”这种东西相对来说并不是很好定义。但是我们可以换一个思路。斜率这种东西可以看成是二位空间中的类似于“方向”之类的东西，毕竟我们可以用直线和x-axis的夹角正切值表示。那么我们也可以用向量的平行以一个方向向量来描述。

假设M（x_0,y_0,z_0）是该直线上的一点。我们还能找到一个平行于该直线的向量（方向向量）A=（m,n,p），那么我们可以表示该直线：

(x-x_0)/m=(y-y_0)/n=(z-z_0)/p

这样，我们就完成了用一种方法描述。

如果你还记得两点式的话，你应该还记得两点式的形式是用两个点表示直线的斜率，在用一个点写成点斜式的形式。三维空间的直线也可以类比这么做，让两个点作差表示方向向量，然后选择一个点写成点斜式。此处不再赘述。

空间中的任何直线都可以看做是空间中的某特定的平面的交线。这样我们就可以用两个平面方程联立表示直线：

{$Ax_1+By_1+Cz_1+D_1=0$

$Ax_2+By_2+Cz_2+D_2=0$}

第三，我们还可以用参数方程描述。

平面中的标准参数方程是{x=x_0+cosφt;y=y_0+sinφt}

从第一个表示方法即方向向量和定点的表示方法，我们可以写出：

(x-x_0)/m=(y-y_0)/n=(z-z_0)/p=t

其中，t是一个变量。

那么，参数方程就可以写成

{x=x_0+mt

y=y_0+nt

z=z_0+pt}