Question

斯特瓦尔特定理的证明方法

Answer 1

定理定义
设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点D，则有：
AB2·DC+AC2·BD-AD2·BC=BC·DC·BD。
验证推导
证法一
已知：如图2－6所示，在△ABC中，点D是线段BC上的一点，连接AD。
求证：AB2·DC+AC2·BD-AD2·BC=BC·DC·BD。
证明：如图2－6所示，作AH⊥BC于H。为了明确起见，设H和C在点D的同侧。
由广勾股定理[2]有：
AC2=AD2+DC2-2DC·DH··
证法二
已知：如图2－6所示，在△ABC中，点D是线段BC上的一点，连接AD。
求证：AB2·DC+AC2·BD-AD2·BC=BC·DC·BD。
证明：
∵∠BDA+∠CDA=180°
∴cos∠BDA+cos∠CDA=0
根据余弦定理得：
AB2=BD2+AD2-2BD·AD·cos∠BDA······（1）
AC2=CD2+AD2-2CD·AD·cos∠CDA······（2）
用CD乘（1）式两边得：
AB2·CD=BD2·CD+AD2·CD-2BD·AD·CD·cos∠BDA
用BD乘（4）式两边得：
AC2·BD=CD2·BD+AD2·BD-2CD·AD·BD·cos∠CDA
由 （3）+（4） 得到：
AB2·CD+AC2·BD
=BD2·CD+AD2·CD-2BD·AD·CD·cos∠BDA+CD2·BD+AD2·BD-2CD·AD·BD·cos∠CDA
=(BD2·CD+CD2·BD)+(AD2·CD+AD2·BD)-(2BD·AD·CD·cos∠BDA+2CD·AD·BD·cos∠CDA)
=BD·CD·(BD+CD)+AD2·(CD+BD)-2BD·AD·CD·(cos∠BDA+cos∠CDA)
=BD·CD·BC+AD2·CD-2BD·AD·CD·0
=BD·CD·BC+AD2·CD
∴AB2·DC+AC2·BD-AD2·BC=BC·DC·BD。