设A是m×n矩阵,B是n×s矩阵,已知秩(B)=n,AB=0.证明A=0.
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由R(B)=n,知B的行向量线性无关..设其行向量组为:B1,B2,.Bn,将B按行分块,
(以B'表示B的转置)
得:B=(B1,B2,.,Bn)
设A=[a(ij)] i=1,2,.m,j=1,2,.n.
如此,AB仍得一按行分块的矩阵C:
AB=C=[C1,C2,.,Cm]'.
其中Ck=a(k1)B1+a(k2)B2+a(k3)B3+.+a(kn)Bn.(k=1,2,...,m)
按假设:AB=0,即Ck=0,
由于,B1,B2,...Bn线性无关,故推出必有:a(k1)=a(k2)=a(k3)=.=a(kn)=0
(k=1,2,3,.,m)
即知:A=0.
(以B'表示B的转置)
得:B=(B1,B2,.,Bn)
设A=[a(ij)] i=1,2,.m,j=1,2,.n.
如此,AB仍得一按行分块的矩阵C:
AB=C=[C1,C2,.,Cm]'.
其中Ck=a(k1)B1+a(k2)B2+a(k3)B3+.+a(kn)Bn.(k=1,2,...,m)
按假设:AB=0,即Ck=0,
由于,B1,B2,...Bn线性无关,故推出必有:a(k1)=a(k2)=a(k3)=.=a(kn)=0
(k=1,2,3,.,m)
即知:A=0.
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