已知函数f(x)=x/1+x^2,求其不定积分
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x/1+x^2的不定积分是ln|1+x|+1/(1+x)+C。
=[(1+x)-1]/(1+x)^2
=1/(1+x)-1/(1+x)^2
换元t=1+x=(1/t) dt - t^(-2)dt
积分得到ln|t|+1/t+C
=ln|1+x|+1/(1+x)+C
解释
根据牛顿-莱布尼茨公式,许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系:定积分是一个数,而不定积分是一个表达式,它们仅仅是数学上有一个计算关系。
一个函数,可以存在不定积分,而不存在定积分,也可以存在定积分,而没有不定积分。连续函数,一定存在定积分和不定积分;若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界,则定积分存在;若有跳跃、可去、无穷间断点,则原函数一定不存在,即不定积分一定不存在。
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