Question

1. z=f(x+2y)+ln(2x-y) ,求(z)/(x)= (^2z)/(xy)

Answer 1

首先，我们需要对z关于x求偏导数，使用链式法则：
∂z/∂x = ∂z/∂(x+2y) * ∂(x+2y)/∂x + ∂z/∂ln(2x-y) * ∂ln(2x-y)/∂x
由于 ln(2x-y) 中只有 x 一项，因此 ∂ln(2x-y)/∂x = 2/x。
将 z 对 x+2y 的偏导数表示出来：
∂z/∂(x+2y) = (∂z/∂u) * (∂u/∂(x+2y)) = f'(u)*1
其中 u = x+2y，f'(u) 表示 f 函数对 u 的导数。
将上述结果代入求偏导数的公式中：
∂z/∂x = f'(u)*1 + (∂z/∂ln(2x-y)) * 2/x
接下来对 z 关于 y 求偏导数，同样使用链式法则：
∂z/∂y = ∂z/∂(x+2y) * ∂(x+2y)/∂y
将 z 对 x+2y 的偏导数表示出来：
同理可得： ∂z/∂(x+2y) = f'(u)*2
将上述结果代入求偏导数的公式中：
∂z/∂y = f'(u)*2
现在可以开始计算题目中要求的两个式子了。
首先计算 (z)/(x)，即 z 对 x 的偏导数。根据前面的推导可得：
(z)/(x) = f'(u)*1 + (∂z/∂ln(2x-y)) * 2/x
接下来计算 (^2z)/(xy)，即 z 对 xy 的二阶混合偏导数。根据前面的推导可得：
(^2z)/(xy) = (∑f''(u)*(du/dt)^k)/(dt^k)
其中 k=0,1, du/dt=x,y, f'' 表示 f 函数对 u 的二阶导数。
将 u=x+2y 带入上述公式中，并注意到 du/dt=x,y，则有：
(^2z)/(xy) = f''(u)*4