Question

y=e^x+y=e^-x+x=2围成的平面图形,求上述图形绕x轴旋转一周所得到的面积

Answer 1

首先，雀行伍我们需要求出该图形在x轴上的截距点。令y=0，解得e^x = -e^-x + 2，由于e^x > 0，因此-e^-x + 2 > 0，解得e^-x < 2，即x > -ln2。
因此，该图形在x轴顷或上的截距点为(-ln2, 0)。接下来，我们可以将该图形绕x轴旋转一周，得到一个旋转体，需要求出该旋转体的体积和侧面积。
旋转体的体积可以通过积分求解，即：
V = ∫[x=-ln2, x=0] πy^2 dx
将y=e^x+y^-x+x=2代入上式，得到：
V = ∫[x=-ln2, x=0] π(e^x+y^-x+x=2)^2 dx
对上式进行展开和化简，得到：
V = π∫[x=-ln2, x=0] (e^2x + y^-2x + x^2 + 2ex - 4x + 4) dx
对上式进行积分，得到：
V = π[e^2x/2 - y^-2x/2 + x^3/3 + ex^2 - 4x^2/2 + 4x] [x=-ln2, x=0]
将上限和下限代入上式，得到：
V = π[(e^2/2 - 1/4 + 1/3 + e - 2 + 4) - (1/2 - e^-2ln2/2 + ln^23/3 - 2ln2 + 4ln2)]
化简后得到：
V = π(31/6 - 2e^-2ln2 - 5ln2)
因此，该图形绕x轴旋转一周所得到的体积为π(31/6 - 2e^-2ln2 - 5ln2)。
旋转体的侧面积可以通过积分求解，即：
S = ∫[x=-ln2, x=0] 2πy√(1+(dy/凋谢)^2) dx
将y=e^x+y^-x+x=2代入上式，得到：
S = ∫[x=-ln2, x=0] 2π(e^x+y^-x+x=2)√(1+(e^x-y^-x+1)^2) dx
对上式进行展开和化简，得到带磨：
S = 2π∫[x=-ln2, x=0] √(e^4x + y^-4x + 2x^2 + 2e^2x + 2y^-2x + 4exy^-x - 8x + 8) dx
对上式进行积分，得到：
S = 2π[(e^4x/4 - y^-4x/4 + x^3/3 + e^2x + y^-2x/2 + 2exy^-x - 4x^2/2 + 8x)√(e^4x + y^-4x + 2x^2 + 2e^2x + 2y^-2x + 4exy^-x - 8x + 8)] [x=-ln2, x=0]
将上限和下限代入上式，得到：
S = 2π[(e^4/4 - 1/16 + 1/3 + e^2 + 1/2 + 4e - 16)√(e^4 + 1 + 2e^2 + 2 + 2e^2 + 4e - 8 + 8) - (1/16 - e^-4ln2/4 + ln^23/2 - 4ln2 + 8ln2)√(17)]
化简后得到：
S = 2π(√17(4e^4 + 8e^3 - 16e^2 - 8e + 31)/3 - √17(1/16 - e^-4ln2/4 + ln^23/2 - 4ln2 + 8ln2))
因此，该图形绕x轴旋转一周所得到的侧面积为2π(√17(4e^4 + 8e^3 - 16e^2 - 8e + 31)/3 - √17(1/16 - e^-4ln2/4 + ln^23/2 - 4ln2 + 8ln2))。