Question

4道“大学多元函数微积分”试题！！

1.求倒数或偏导数。
设x=e^u+usinv, y=e^u-ucosv, 求(偏u/偏x),(偏u/偏y),(偏v/偏x),(偏v/偏y)
[e^u代表e的u次方,下同]

2.求曲线x=t/(1+t), y=(t+1)/t, z=t^2在对应于t=1的点的切线及法平面方程。

3.求空间曲线在指定点的切线和法平面方程。
x^2+y^2+z^2=6, x+y+z=0, 在点（1，-2，1）。

4。求函数z=In(x+y)在抛物线y=4x上点（1，2）处，沿着这抛物现在该点处偏向x轴正向的切线方向的方向导数。

[1,3题的两个方程使用大括号括起得，希望数学高手抽点空帮忙做一下，其实都不难，但是我始终和标准答案不一样，谢谢！]

Answer 1

(1):x=e^u+usinv,
y=e^u-ucosv
先同时对x求偏导得
1=e^u偏u/偏x+sinv偏u/偏x+ucosv偏v/偏x
0=e^u偏u/偏xcosv偏u/偏x+usinv偏v/偏x
联立利用行列式解得
偏u/偏x=sinv/[e^u(sinv+cosv)+1],偏v/偏x=(sinv-e^u)/[ue^u(sinv+cosv)+u]
同样再对y求偏导数，联立解得
偏u/偏y=-sinv/[e^u(sinv+cosv)+1]偏v/偏y=(e^u+sinv)/[ue^u(sinv+cosv)+u]
(2):,x,y,z同时对t求导数，并将t=1代入，x'(1)=1/4,y'(1)=-1,z'(1)=2
x(1)=1/2,y(1)=2,z(1)=1
切线：(x-1/2)/(1/4)=(y-2)/(-1)=(z-1)/2,法平面：2x-8y+16z-1=0
(3):两方程同时对x求导数，
2x+2y偏y/偏x+2z偏z/偏x=0
1+偏y/偏x+偏z/偏x=0
联立得，偏y/偏x=（z-x)/（y-z），偏z/偏x=（x-y）/（y-z)，将（1，-2，1）代人，得偏y/偏x=0，偏z/偏x=-1
切线（x-1)/1=(y+2)/0=(z-1)/1,法平面：x+z-2=0
(4):应该是抛物线y^2=4x吧
抛物线在（1，2）处切线斜率，可根据求导数得k=1，
从而得出方向余弦为cosa=根号2/2,cosb=根号2/2
函数z=In(x+y)沿着这抛物现在该点处偏向x轴正向的切线方向的方向导数
=偏z/偏xcosa+偏z/偏ycosb=根号2/3

Answer 2

阿拉才初中~刚学三角比～这像天文一般～

Answer 3

我不会

Answer 4

哇，这是什么时候学的啊？大学？好神奇的东西诶。。。。

Answer 5

上学期刚刚学过，偏导数这里烦死了，不是我不帮你兄弟，这事儿啊，还得靠打草纸解决啊