Question

已知数列{an}满足a1=1;an=a1+2a2+3a3+...+(n-1)a(n-1);

（n>=2);求通项公式。（请给出过程，谢谢）

Answer 1

a2=a1+2a2=1+2a2 得a2=-1
an=a1+2a2+3a3+...+(n-2)a(n-2)＋(n-1)a(n-1)
a(n-1)＝a1+2a2+3a3+...+(n-2)a(n-2)
两式相减：
an－a(n-1)＝(n-1)a(n-1)
即an＝na(n-1)
所以an/a(n-1)=n
an=[an/a(n-1)][a(n-1)/a(n-2)]...[a3/a2]a2=
n*(n-1)*...*3a2=(-1)n!/2

Answer 2

解：
an=4-(4/a(n-1))，
an-2=2-4/a(n-1)
=[2a(n-1)-4]/a(n-1)
两边取倒数得到
1/（an-2）=a(n-1)/[2a(n-1)-4]=1/2
1/[a(n-1)-2]
然后采用逐级消除法
依次将n=n-1，n-2……2
带入
然后所有等式相加
1/（an-2）-1/[a(n-1)-2]=1/2
1/（a（n-1）-2）-1/[a(n-2)-2]=1/2
……
1/(a2-2)-1/(a1-2)=1/2
左边消去很多项
得
1/(an-2)-1/(a1-2)=(n-1)1/2
将a1=2带入得：
an=2/n
2

Answer 3

an=a1+(1/2)a2+(1/3)a3+…+[1/(n-2)]a(n-2)+[1/(n-1)]a(n-1),a(n-1)=a1+(1/2)a2+(1/3)a3+…+[1/(n-2)]a(n-2)an-a(n-1)=[1/(n-1)]a(n-1)an=[n/(n-1)]a(n-1)(1/n)an=[1/(n-1)]a(n-1)(1/n)an=[1/(n-1)]a(n-1)=……=(1/2)a2=a1=1an=2006时(1/n)2006=1n=2006