Question

已知a,b,c均为正数且a+b+c=1,求证a分之1+b分之1+c分之1大于等于9？

已知a,b,c均为正数且a+b+c=1,求证a分之1+b分之1+c分之1大于等于9？

Answer 1

法一：利用均值不等式
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=3(abc)^(1/3)*3/(abc)^(1/3)=9
因为a+b+c=1,所以1/a+1/b+1/c≥9
当且仅当a=b=c=1/3时取等号

法二：利用Cauchy不等式
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=（1+1+1)^2=9

法三：因为调和平均<=算术平均（Hn<=An)
3/(1/a+1/b+1/c)<=(a+b+c)/3=1/3
所以1/a+1/b+1/c>=9

法四：把a+b+c=1代入求证不等式得(b+c)/a+(c+a)/b+(a+b)/c>=6
由对称性不妨设a<=b<=c,则1/c<=1/b<=1/a
根据排序不等式(逆序和〈=乱序和〈=正序和）得
a/c+b/a+c/b>=a/a+b/b+c/c=3
a/b+b/c+c/a>=a/a+b/b+c/c=3
相加即证。

完毕。

Answer 2

∵a+b+c=1
原式=（a分之一+b分之一+c分之一）*（A+B+C）
=3+A分之B+A分之C+B分之A+B分之C+C分之A+C分之B
∵A分之B+B分之A≥2
A分之C+C分之A≥2
B分之C+C分之B≥2
原式=3+A分之B+A分之C+B分之A+B分之C+C分之A+C分之B≥2+2+2+3=9

Answer 3

法一：利用均值不等式
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=3(abc)^(1/3)*3/(abc)^(1/3)=9
因为a+b+c=1,所以1/a+1/b+1/c≥9
当且仅当a=b=c=1/3时取等号
法二：利用Cauchy不等式
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=（1+1+1)^2=9
法三：因为调和平均<=算术平均（Hn<=An)
3/(1/a+1/b+1/c)<=(a+b+c)/3=1/3
所以1/a+1/b+1/c>=9
法四：把a+b+c=1代入求证不等式得(b+c)/a+(c+a)/b+(a+b)/c>=6
由对称性不妨设a<=b<=c,则1/c<=1/b<=1/a
根据排序不等式(逆序和〈=乱序和〈=正序和）得
a/c+b/a+c/b>=a/a+b/b+c/c=3
a/b+b/c+c/a>=a/a+b/b+c/c=3
相加即证。
完毕。

Answer 4

a分之1用1/a表示，其它类似~~

(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)
=1+a/b+a/c+b/a+1+b/c+c/a+c/b+1
=3+(a/b+b/a)+(b/c+c/b)+(a/c+c/a)
≥3+2根号[(a/b)(b/a)]+2根号[(b/c)(c/b)]+2根号[(a/c)(c/a)]
=3+2+2+2
=9
因为a+b+c=1
所以1/a+1/b+1/c≥9
当且仅当a=b=c=1/3时不等式取等号

Answer 5

1/a+1/b+1/c
=(1/a+1/b+1/c)×(a+b+c)
=(b/a+a/b)+(c/a+a/c)+(c/b+b/c)+3
>=2+2+2+3=9
等号成立条件为a=b=c=1/3