Question

已知：a、b、c是整数，则满足不等式

已知：a、b、c是整数，则满足不等式
a2+b2+c2+3< ab+3b+2c的所有a、b、c 的值是

Answer 1

已知a,b,c是整数,则满足不等式a²+b²+c²+3＜ab+3b+2c的所有a,b,c的值是

a²+b²+c²+3＜ab+3b+2c
--->2(a²+b²+c²+3)＜2(ab+3b+2c)
--->a²+(a²-2ab+b²)+(b²-6b+9)+(2c²-4c+2)＜5
--->a²+(a-b)²+(b-3)²+2(c-1)²＜5

（1）如果c≠1--->2(c-1)²≥2--->a²+(a-b)²+(b-3)²＜3
--->a、a-b、b-3中至少一个为0
若a=0--->b²+(b-3)²＜3--->b²-3b+3＜0，不可能(∵Δ＜0)
若a=b--->b²+(b-3)²＜3，不可能(∵Δ＜0)
若b=3--->a²+(a-3)²＜3，不可能(∵Δ＜0)

（2）c=1--->a²+(a-b)²+(b-3)²＜5
(i) 当a、a-b、b-3中有0时--->b²-3b+2＜0或a²-3a+2＜0
--->1＜b＜2或1＜a＜2，不可能
(ii)|a|、|a-b|、|b-3|有大于1的数,如a=2
--->另两个数中必然至少一个为0，由(i)，不可能
综上--->|a|=|a-b|=|b-3|=1--->a=1、b=2

综上：a = 1 , b = 2, c = 1

Answer 2

解:两边同乘2:2a2+2b2+2c2+6<2ab+6b+4c
整理得:a2+(a-b)2+(b-3)2+2(c-1)2<5
a2+(a-b)2+(b-3)2+2(c-1)2<=4

a=2时,不成立

a=1,
(b-1)2+(b-3)2+2(c-1)2<=3
b=2,c=1