已知x>0,y>0,x+y=1求证(1+1/x)(1+1/y)>=9

百度网友46c0c46c5
2008-09-07 · TA获得超过1559个赞
知道小有建树答主
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要证(1+1/x)(1+1/y)>=9
只需证(x+1)(y+1)>=9xy
即证xy+x+y+1-9xy>=0
2>=8xy
xy<=(x+y)^2/4
即证 8xy<=2(x+y)^2
因为x+y=1
所以 8xy<=2

所以 (1+1/x)(1+1/y)>=9
得证
百度网友02e7fd743
2008-09-08 · TA获得超过2.3万个赞
知道大有可为答主
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法一:分析法,往证(1+1/x)(1+1/y)>=9
只要证(x+1)(y+1)>=9xy
即证xy+x+y+1>=9xy
因为x+y=1所以只要证8xy<=2
只要证xy<=1/4即可,这可由均值不等式xy<=(1/4)(x+y)^2=1/4得到,
所以不等式成立。

法二:(1+1/x)(1+1/y)=(2+y/x)(2+x/y)=5+2(x/y+y/x)>=5+2*2=9
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百度网友4b8cd834d
2008-09-07 · TA获得超过3484个赞
知道小有建树答主
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很简单
证明:已知x>0,y>0,x+y=1
则(1+1/x)(1+1/y)=1+1/x+1/y+1/xy=1+(x+y)/xy+1/xy=1+2/xy
=1+2/(-x平方+x)
对于二次函数f(x)=-x平方+x x>0 其对称轴x=1/2>0 在定义区间(0,+∞)
故有最大值 max[f(x)]=f(1/2)=1/4
从而 (1+1/x)(1+1/y)有最小值9
即有 (1+1/x)(1+1/y)≥9 成立
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百度网友50044ee
2008-09-07 · TA获得超过2260个赞
知道小有建树答主
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证明:(1+1/x)(1+1/y)=[1+(x+y)/x][1+(x+y)/y]
=(2+y/x)(2+x/y)=4+2x/y+2y/x+1
∵x>0,y>0
∴4+2x/y+2y/x+1≥5+2√(2x/y)*(2y/x)=5+4=9
当且仅当2x/y=2y/x,即X=y=1/2时取"="
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