Question

函数序列的一致收敛性，证明题，急求各位大师帮忙！！！

Answer 1

分两部分证明：
1. 若Mn→0(n→∞)，则{fn(x)}在[a,b]上一致收敛于f(x)
注意到数列{Mn}为常数列(与x无关)
因此，对任意的ε>0，存在N=N(ε)，当n>N时，都有|Mn-0|<ε
而|fn(x)-f(x)|≤|Mn-0|<ε对一切x∈[a,b]都成立
故函数列{fn(x)}在[a,b]上一致收敛于f(x)

2. 若{fn(x)}在[a,b]上一致收敛于f(x)，则Mn→0(n→∞)
对任意的ε>0，存在N=N(ε)，当n>N时，对一切x∈[a,b]，都有|fn(x)-f(x)|<ε
因此Mn=max{x∈[a,b]} |fn(x)-f(x)|<ε
即Mn→0(n→∞)

更一般的，设Mn=sup{x∈X}|fn(x)-f(x)|，若Mn→0(n→∞)，则
函数列{fn(x)}在X上一致收敛于f(x)