Question

如图，直线AB与圆O相切于点A，AC,AD,CD圆O的弦，且CD平行AB，∠CDE=∠CAD。连接AO并延长交CD于F

，交过点D的直线于E。1.判断DE与圆O的位置关系并证明。2.若AC=8，CD=6，求圆O的半径。

Answer 1

答：1. 作辅助线OD
∵AB与圆O相切，AO为圆O半径
∴OA⊥AB，即∠BAO=90°
∵CD∥AB ∴∠BAO=∠AFC=90°
∵垂直与弦的半径平分弦，AO为半径，CD为弦
∴CF=DF
∵在△ACD中，AF⊥CD，AF平分CD
∴△ACD在等腰三角形，AD=AC，∠CAF=∠1
∴∠CAD=2∠1
∵OA=OD ∴∠1=∠2
∵∠DOE=∠1+∠2=2∠1
∵∠OFD=∠AFC=90° ∴∠DOF+∠ODF=180° -∠OFD=180° -90° =90°
∵∠DOE=2∠1=∠CAD ∴∠ODF+∠CAD =90°
∵∠CAD=∠CDE ∴∠ODF+∠CDE =90°即∠ODE=90° ∴直线DE与圆O相切
2. 作辅助线OC，作辅助线OH垂直与AD，并设OH=h，半径OA=r
∵在△AOC与△AOD中，OD=OC=OA，AC=AD ∴S△AOC=S△AOD=1/2×AD×h
∵在△ACD中，S△AOC+S△AOD+S△COD=S△ACD
即1/2×AD×h+1/2×AD×h+1/2×CD×OF=1/2×CD×AF=1/2×CD×(AO+OF)
即4h+4h+3OF=3(r+OF) 即8h=3r 即h=3/8r
∵在△ODH中，OH²+DH²=OD² 即h²+16=r² 即9/64r²+16=r² ∴r=4.315

Answer 2

半径等于根号55分之32,根据勾股定理：AF=根号55；设FG为x，即CG的平方等于（9+x的平方），在三角形ACG中，AG的平方=AC的平方+CG的平方，即（根号55+x）的平方=64+（9+x的平方）

Answer 3