Question

对于非空实数集A，定义A*={z|对任意x∈A，z≥x}．设非空实数集C?D?（-∞，1]．现给出以下命题：（1）对于

对于非空实数集A，定义A*={z|对任意x∈A，z≥x}．设非空实数集C?D?（-∞，1]．现给出以下命题：（1）对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必有D*?C*；（2）对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必有C*∩D≠?；（3）对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必有C∩D*=?；（4）对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必存在常数a，使得对任意的b∈C*，恒有a+b∈D*．以上命题正确的是______．

Answer 1

由A^*={z|?x∈A，z≥x}．可知：数集A^*是数集A的所有上界组成的集合．
（1）分别用A_max、A_min表示集合A的所有元素（数）的最大值、最小值．
由C?D及A^*的定义可知：C_max≤C^*_min，D_max≤D^*_min，C^*_min≤D_max，
∴C^*_min≤D^*_min，∴必有D^*?C^*．故（1）正确．
（2）若设C=（-∞，1）=D，满足C?D，而C^*={1}，此时C^*∩D=?，故（2）不正确．
（3）若设C=（-∞，0），D=（-∞，1），满足C?D，而D^*=（0，1），此时C∩D^*=（0，1）≠?，故（3）不正确．
（4）由（1）可知：对于C?D，必有D^*?C^*；取a=D^*_min-C^*_min，则对于任意的b∈C^*，必恒有a+b∈D^*．故（4）正确，
故答案为：（1）（4）．