Question

如图，在 ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE= BC，连结DE，CF。 （1）求证：四边形CEDF是平行四

如图，在 ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE= BC，连结DE，CF。 （1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长。

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Answer 1

（1）见解析（2）

解：（1）证明：在 ABCD中，AD∥BC，且AD=BC， ∵F是AD的中点，∴DF= AD。 又∵CE= BC，∴DF=CE，且DF∥CE。 ∴四边形CEDF是平行四边形。 （2）如图，过点D作DH⊥BE于点H， 在 ABCD中，∵∠B=60°，∴∠DCE=60。． ∵AB=4，∴CD=AB=4。 ∴CH=2，DH= 。 在 CEDF中，CE=DF= AD=3，则EH=1。 ∴在Rt△DHE中，根据勾股定理，得 。 平行四边形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理。 （1）由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知AD∥BC，且AD=BC；然后根据中点的定义、结合已知条件推知四边形CEDF的对边平行且相等（DF=CE，且DF∥CE），即四边形CEDF是平行四边形。 （2）如图，过点D作DH⊥BE于点H，构造含30度角的直角△DCH和直角△DHE．通过解直角△DCH和在直角△DHE中运用勾股定理来求线段ED的长度。