Question

设a∈R，函数f（x）=ax3-3x2，x=2是y=f（x）的极值点．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）=ax3-3x2在区间

设a∈R，函数f（x）=ax3-3x2，x=2是y=f（x）的极值点．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）=ax3-3x2在区间[-1，5]上的最值．

Answer 1

（Ⅰ）f′（x）=3ax²-6x=3x（ax-2），
∵x=2是函数y=f（x）的极值点，
∴f′（2）=0，即6（2a-2）=0，因此a=1．
经检验，当a=1时，x=2是函数y=f（x）的极值点．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f′（x）=3x²-6x=3x（x-2）．
令f′（x）＞0，解得x＜0或x＞2；令f′（x）＜0，解得0＜x＜2；
则y=f（x）的单调增区间是（-∞，0），（2，+∞）；单调减区间是（0，2）
故函数f（x）=x³-3x²在区间[-1，0），（2，5）上递增，在区间（0，2）上递减，
又由f（-1）=-4，f（0）=0，f（2）=-4，f（5）=50，
所以f（x）在区间[-1，5]上的最大值为50，最小值为-4．