Question

如图，抛物线 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点.（1）求A

如图，抛物线 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点.（1）求A、B、C的坐标；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N.若点P在点Q左边，当矩形PQMN的周长最大时，求△AEM的面积；（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ.过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）.若FG= DQ，求点F的坐标.





Answer 1

（1）A（-3，0），B（1，0），C（0，3）； （2） ；（3） 或（1，0）.

试题分析：（1）依据抛物线的解析式直接求得C的坐标，令y=0解方程即可求得A、B点的坐标. （2）求出矩形PQMN的周长关于点M横坐标的解析式，应用二次函数最值原理求出矩形PQMN的周长时点M横坐标的值，求出此时△AEM的面积. （3）根据FG= DQ列关于点F横坐标的方程求解即可． 试题解析：（1）由抛物线的解析式 令 得 ，∴C（0，3）. 令y=0，-x2+2x+3=0，解得x=-3或x=1.∴A（-3，0），B（1，0）． （2）∵ ，∴对称轴为x=-1. 设 ，其中 . ∵点P、Q关于直线x=-1对称，设点Q的横坐标为a， 则 ，∴ .∴ . ∴ ∴矩形PQMN的周长 . ∴当x=-2时，矩形PQMN的周长d最大. 此时  . 设直线AC的解析式为 ，则 ，解得 . ∴直线AC的解析式为 . 将x=-2代入 ，得y=1，∴ . ∴ . （3）由（2）知，当矩形PQMN的周长最大时，x=-2， 此时， ，与点C重合，∴OQ=3. 由 得 . 如图，过点D作DK⊥y轴于点K，则DK=1，OK=4，∴QK=OK-OQ=4-3=1. ∴△DKQ是等腰直角三角形， . ∴ . 设 ，则 ， ∴ ，解得 . 当 时， ；当 时， . ∴点F的坐标为 或（1，0）.