Question

已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R）．（I）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-y+1=0垂直，求a

已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R）．（I）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-y+1=0垂直，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若a=1，函数b≠0，函数g（x）=13bx3-bx，如果对任意的x1∈（1，2），总存在x2∈（1，2），使得f（x1）=g（x2），求实数b的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）函数f（x）=lnx-ax的导数为f′（x）=

1

x

-a，
则在点（1，f（1））处的切线斜率为1-a，
由于切线与直线x-y+1=0垂直，则1-a=-1，
则a=2；
（Ⅱ）f′（x）=

1

x

-a=

1?ax

x

（x＞0），
当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上递增，
当a＞0时，f′（x）＞0时，0＜x＜

1

a

，f′（x）＜0时，x＞

1

a

．
综上，a≤0时，f（x）只有增区间：（0，+∞），
a＞0时，f（x）的增区间是（0，

1

a

），减区间为（

1

a

，+∞）；
（Ⅲ）a=1时，f（x）=lnx-x，由（Ⅱ）知f（x）在（1，2）上递减，则f（x）的值域为（ln2-2，-1），
由于g（x）=

1

3

bx³-bx的导数为g′（x）=b（x²-1），
则当b＞0时，g′（x）＞0，g（x）在（1，2）上递增，g（x）的值域为（-

2

3

b，

2

3

b）；
当b＜0时，g′（x）＜0，g（x）在（1，2）上递减，g（x）的值域为（

2

3

b，-

2

3

b）；
由于对任意的x₁∈（1，2），总存在x₂∈（1，2），使得f（x₁）=g（x₂），
则b＞0时，（ln2-2，-1）?（-

2

3

b，

2

3

b），则有-

2

3

b≤ln2-2，即有b≥3-

3

2

ln2；
b＜0时，（ln2-2，-1）?（

2

3

b，-

2

3

b），则有

2

3

b≤ln2-2，即有b≥

3

2

ln2-3．
综上，可得实数b的取值范围是（-∞≥

3

2

ln2-3]∪[3-

3

2

ln2，+∞）．