Question

已知正项数列{an}满足a1=12，且an+1=an1+an．（1）求证：数列{1an}是等差数列；（2）求正项数列{an}的通

已知正项数列{an}满足a1=12，且an+1=an1+an．（1）求证：数列{1an}是等差数列；（2）求正项数列{an}的通项公式；（3）若等比数列{bn}的通项公式是：bn=2n-1，求数列{bnan}的前n项和Sn．

Answer 1

（1）证明：由a_n+1=

an

1+an

，得

1

an+1

＝

1+an

an

=1+

1

an

，即

1

an+1

?

1

an

=1，
∴数列{

1

an

}是等差数列，公差为1，首项为2；
（2）由（1）知，

1

an

＝2+(n?1)×1=n+1，
∴an＝

1

n+1

；
（3）

bn

an

=（n+1）?2^n-1，
∴S_n=2×1+3×2+4×2²+…+（n+1）×2^n-1①，
2S_n=2×2+3×2²+4×2³+…+（n+1）×2ⁿ②，
①-②得，-S_n=2+2+2²+2³+…+2^n-1-（n+1）×2ⁿ
=2+

2(1?2n?1)

1?2

-（n+1）×2ⁿ=-n×2ⁿ，
∴S_n=n×2ⁿ．