Question

如图①，分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1=S2+S3．（1

如图①，分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1=S2+S3．（1）如图②，分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，写出它们的关系；（不必证明）（2）如图③，分别以Rt△ABC三边为边向外作正三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，确定它们的关系并证明；（3）若分别以Rt△ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件？

Answer 1

由设Rt△ABC三边BC，CA，AB的长分别为a，b，c，则c²=a²+b²．
（1）S₁=S₂+S₃

（2）S₁=S₂+S₃，证明如下：
显然S₁=

3

4

c²，S₂=

3

4

a²，S₃=

3

4

b²，
∴S₂+S₃=

3

4

（a²+b²）=

3

4

c²=S₁．

（3）当所作的三个三角形相似时，S₁=S₂+S₃．
∵所作三个三角形相似．
∴

S2

S1

＝

a2

c2

，

S3

S1

＝

b2

c2

，
∴

S2+S3

S1

＝

a2+b2

c2

=1．
∴S₁=S₂+S₃．
即凡是向△ABC外做相似多边形，S₁=S₂+S₃．

Answer 2

哈哈哈😊二保