Question

如图，已知二次函数 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC=3，顶点为M

如图，已知二次函数 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC=3，顶点为M。（1）求二次函数的解析式；（2）点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为Q，若OQ=m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；（3）探索：线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形；如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由。

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Answer 1

（1）∵OB=OC=3，∴B（3，0），C（0，3）          ∴ ，解得         ∴二次函数的解析式为 ； （2） ，∴M（1，4）          设直线MB的解析式为 ，则有 ，解得          ∴直线MB的解析式为          ∵PQ⊥轴，OQ=m，∴点P的坐标为（m，-2m+6）                                 （3）线段BM上存在点N 使△NMC为等腰三角形；        ，              ①当CM=NC时， ，解得 （舍去）           此时N       ②当CM=MN时，          解得 （舍去），此时N     ③当CN=MN时，        解得x=2，此时N （2，2）