Question

已知：四边形ABCD的面积为1．如图1，取四边形ABCD各边中点，则图中阴影部分的面积为______；如图2，取四

已知：四边形ABCD的面积为1．如图1，取四边形ABCD各边中点，则图中阴影部分的面积为______；如图2，取四边形ABCD各边三等分点，则图中阴影部分的面积为______；…；取四边形ABCD各边的n（n为大于1的整数）等分点，则图中阴影部分的面积为______．

Answer 1

解：如图1，连接AC、BD．
∵点A₁、D₁是边AB、AD的中点，
∴A₁D₁是△ABD的中位线，
∴A₁D₁∥BD，A₁D₁=

1

2

BD，
∴△AA₁D₁∽△ABD，
∴

S△AA1D1

S△ABD

=(

A1D1

BD

)2=

1

4

，
∴S△AA1D1=

1

4

S_△ABD．
同理，S △CB1C1=

1

4

S_△BCD，S△BA1B1=

1

4

S_△ABC，S△DD1C1=

1

4

S_△ACD，
∴S_阴影=S_{四边形ABCD}-（S△AA1D1+S △CB1C1+S△BA1B1+S△DD1C1）=1-

1

4

（S_△ABD+S_△BCD+S_△ABC+S_△ACD）=1-

2

4

S_{四边形ABCD}=

1

2

S_{四边形ABCD}．
如图2，同理可得S_阴影=1-

1

9

（S_△ABD+S_△BCD+S_△ABC+S_△ACD）=1-

2

9

S_{四边形ABCD}=

7

9

S_四