Question

已知数列{an}的前n项和Sn=n2-4n+4（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）试构造一个数列{bn}（写出

已知数列{an}的前n项和Sn=n2-4n+4（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）试构造一个数列{bn}（写出{bn}的一个通项公式）满足：对任意的正整数n都有bn＜an，且limn→∞anbn=2，并说明理由；（3）设各项均不为零的数列{cn}中，所有满足的正整数i的个数称为这个数列{cn}的变号数．令cn=1-4an（n∈N*），求数列{cn}的变号数．

Answer 1

（1）∵S_n=n²-4n+4，
∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n-5，
n=1时，a₁=1，
∴a_n=

2n?5，n≥2 1，n＝1

…（4分）
（2）要使

lim

n→∞

an

bn

=2，可构造数列b_n=n-k，
∵对任意的正整数n都有b_n＜a_n，
∴当n≥2时，n-k＜2n-5恒成立，即n＞5-k恒成立，即5-k＜2，
∴k＞3，
又b_n≠0，∴k?N^*，∴b_n=n-

7

2

，等等．        …（10分）
（3）由题设c_n=

?3，n＝1 1? 4 2n?5 ，n≥2

，
当n≥2时，c_n?c_n+1＜0，可得

3

2

＜n＜

5

2

或

7

2

＜n＜

9

2

，
∴n=2或n=4；…（14分）
又∵c₁=-3，c₂=5，∴n=1时也有c₁?c₂＜0．
综上得 数列{c_n}共有3个变号数，即变号数为3．   …（16分）