Question

如图，已知二次函数y=-x 2 +bx+3的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴交于点B。 （1）

如图，已知二次函数y=-x 2 +bx+3的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴交于点B。 （1）求此二次函数关系式和点B的坐标；（2）在x轴的正半轴上是否存在点P，使得△PAB是以AB为底的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）∵二次函数 的图象与x轴的一个交点为A（4，0）， ∴ ，解得 ， ∴此二次函数关系式为： ， ∴令x=0，得y=3， ∴点B的坐标为B（0，3）； （2）在x轴的正半轴上存在点P（ ，0），使得△PAB是以AB为底的等腰三角形，理由如下： 设点P（x，0），x＞0，使得BP=AP， 则根据右图和已知条件可得 x 2 +3 2 =（4-x） 2 ，解得x= ， ∴点P的坐标为P（ ，0）， 即在x轴的正半轴上存在点P（ ，0），使得△PAB是以AB为底的等腰三角形。