Question

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3=5，S15=225．数列{bn}是等比数列，b3=a2+a3，b2b5=128（其中n=1，2

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3=5，S15=225．数列{bn}是等比数列，b3=a2+a3，b2b5=128（其中n=1，2，3，…）．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）记cn=anbn，求数列cn前n项和Tn．

Answer 1

（I）公差为d，
则

a1+2d＝5 15a1+15×7d＝225

，
∴

a1＝1 d＝2

故a_n=2n-1（n=1，2，3，…）．
设等比数列b_n的公比为q，则

b3＝8 b3 q ?b3q2＝128

，∴b₃=8，q=2
∴b_n=b₃?q^n-3=2ⁿ（n=1，2，3，…）．
（II）∵c_n=（2n-1）?2ⁿ∵T_n=2+3?2²+5?2³+…+（2n-1）?2ⁿ
2T_n=2²+3?2³+5?2⁴+…+（2n-3）?2ⁿ+（2n-1）?2ⁿ⁺¹
作差：-T_n=2+2³+2⁴+2⁵+…+2ⁿ⁺¹-（2n-1）?2ⁿ⁺¹
=2+

23(1?2n?1)

1?2

?(2n?1)?2n+1
=2+2³（2^n-1-1）-（2n-1）?2ⁿ⁺¹=2+2ⁿ⁺²-8-2ⁿ⁺²n+2ⁿ⁺¹=-6-2ⁿ⁺¹（2n-3）
∴T_N=（2n-3）?2ⁿ⁺¹+6（n=1，2，3，…）．